Innholdsfortegnelse for No. 179 i Les Cahiers de Science & Vie

La légende du roi Arthur, qui raconte que le souverain serait né à Tintagel, fit de ce site côtier de Cornouailles du Nord, un lieu mythique dès le Moyen Âge. À défaut d’avoir permis d’attester l’existence du célèbre roi, les fouilles du château de Tintagel, que Richard de Cornouailles fit ériger au XIIIe siècle, révèlent que le site fut bel et bien occupé à l’époque des exploits arthuriens. L’équipe d’archéologues missionnée par la fondation English Heritage vient de retrouver dans les soubassements une intrigante pierre datant du VIIe siècle, gravée d’inscriptions en langues grecque, latine et celtique, accompagnées de symboles chrétiens. Le vestige, « très rare pour la période qui voit tout juste se développer l’écriture manuscrite », précise l’archéologue principale Jacky Nowakowsky, se révèle être le fruit d’exercices d’écriture…

Pour asticoter un spécialiste de l’histoire des mathématiques, demandez-lui de quand date le Big Bang de la discipline. Après un court flottement, la réponse tombera : il n’en sait rien. En fait, nul n’en sait rien, même si, de l’avis général, le fameux « bâton d’Ishango », deux petit os scarifiés découverts en Afrique équatoriale et vieux de plus de 20 000 ans, constitue la plus ancienne preuve de dénombrements arithmétiques. De même, les historiens des sciences s’accordent à penser que les mathématiques in statu nascendi (à l’état naissant), telles celles pratiquées en Mésopotamie aux IVe -IIIe millénaires avant notre ère, semblent servir pour l’essentiel à mesurer la surface de terrains, estimer les récoltes pour l’impôt, régler des questions d’héritage, satisfaire des besoins comptables... « L’ambition des premiers mathématiciens n’est…

Peut-il n’y avoir qu’un seul infini ? Le concept concerne à la fois les mathématiques et la philosophie, la cosmologie et les sciences de la nature. L’infini surgit dès l’instant où nous y songeons. Et pourtant, nous éprouvons clairement de nombreuses difficultés à l’appréhender. Il surgit pour la première fois au VIe siècle av. J.-C. dans la pensée du Grec Anaximandre de Milet, élève du célèbre Thalès. C’est en s’intéressant au fondement de l’Univers que le philosophe met au point le concept d’apeiron (littéralement « infini » ou « illimité »), qui désigne le principe et substrat de tout ce qui existe. À peine quelques années plus tard apparaît la première véritable appréhension arithmétique de l’infini. Selon les historiens, celle-ci correspondrait à la découverte des nombres irrationnels par les membres…

Les ziggourats, constructions en terrasses superposées surmontées d’un temple, sont les constructions emblématiques de la civilisation mésopotamienne. Construites à partir de la fin du troisième millénaire, elles obéissaient manifestement à des calculs mathématiques précis, en particulier pour connaître le volume et le nombre de briques nécessaires. Le calcul du volume d’un tronc de pyramide de base carrée était une compétence reconnue des Babyloniens. Néanmoins, aucune tablette ne faisant référence à ces calculs n’a été retrouvée. Nous connaissons cependant une tablette relative à la ziggourat de Marduk, la tablette dite de l’Esagil, qui mentionne la construction d’une ziggourat de 90 mètres de côté à sept étages, dont la hauteur (débattue par les historiens) pourrait être de 90 mètres. Selon l’historien Jean-Jacques Glassner, ce volume de 90 mètres sur 90 correspond aux…

Eurêka » ! L’homme jaillit du bain et court nu dans la rue, jubilant d’avoir saisi une évidence : tout corps plongé dans l’eau reçoit une poussée vers le haut égale au poids du volume d’eau déplacé. Vraie ou – plus vraisemblablement – fausse, cette anecdote truculente a fait d’Archimède l’archétype du savant génial mais distrait. Pourtant, le symbole qu’il choisira de faire graver sur sa tombe ne sera pas une baignoire mais, à en croire Cicéron, une sphère inscrite dans un cylindre. Pour rappeler qu’il fut d’abord géomètre. Et que toute sa vie fut consacrée à une seule quête : réaliser la quadrature du cercle. C’està-dire chercher le carré dont la surface égale celle d’un cercle. De cette vie, il n’est resté qu’une date : celle de sa mort,…

Cahiers de Science & Vie : Les mathématiques occupent une place sans cesse grandissante dans nos vies quotidiennes. Peut-on la définir ? Antoine Chambert-Loir : Depuis le milieu du XXe siècle, les mathématiques ont connu un essor extraordinaire, notamment grâce à l’aide des ordinateurs, qui rendent possibles des calculs de plus en plus poussés et rapides. Elles interviennent désormais dans de multiples domaines : les prévisions météo, l’industrie médicale, la finance, les télécommunications… La théorie des probabilités permet d’étudier des phénomènes complexes et imprévisibles, en les traitant comme s’ils étaient produits par un tirage au sort. Des modèles à base d’équations différentielles stochastiques, c’est-à-dire reposant sur des variables aléatoires, servent ainsi à prédire les évolutions des cotations boursières. Les Big Data, ces données récoltées à très grande échelle, viennent nourrir…

La bataille de Wagram, menée en 1809 près de Vienne sur la rive nord du Danube, reste l’un des plus sanglants combats menés durant les guerres napoléoniennes. Elle poussa l’archiduc Charles d’Autriche à capituler face aux troupes françaises. Et coûta la vie à plus de 55 000 soldats dans les deux camps. Or, si elle fut si meurtrière, ce n’est pas uniquement parce que la bataille fut violente (seules celles de la Moskova et de Leipzig la dépasseront en intensité). Les médecins militaires Larrey, Percy ou Biron se sont déjà largement penchés sur les troubles subis par les troupes napoléoniennes pendant l’Empire, notamment sur les effets du « vent du boulet », violente commotion née du passage d’un boulet près d’un homme, capables d’entraîner la mort. En cas de survie,…

Responsable des fouilles de Pompéi entre 1860 et 1875, Giuseppe Fiorelli œuvre pour la première fois en procédant par des décapages horizontaux successifs. Il invente également une méthode de moulage encore utilisée aujourd’hui en remplissant de plâtre les espaces laissés vides par les corps décomposés dans les couches de cendres. C’est aussi lui qui divise la cité en neuf régions, dont certaines n’ont encore jamais été fouillées. C’est partiellement le cas de la cinquième, dans laquelle la demeure des Dauphins vient d’être mise au jour.…

❖Abaque : à l’instar du boulier, un appareil rudimentaire portatif utilisé pour effectuer des calculs numériques. ❖Algèbre : ce mot fut employé pour la première fois au IXe siècle par le mathématicien arabe Al-Kwârizmî. Il vient du mot al-jabr qui signifie restauration (voir p. 72). L’algèbre est une branche des mathématiques ayant pour objet de simplifier et de résoudre au moyen de formules des problèmes où les grandeurs sont représentées par des symboles et d’en généraliser les résultats. ❖Algorithme : un terme qui provient également du mathématicien Al-Kwârizmî. un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’opérations ou d’instructions permettant de résoudre un problème ou d’obtenir un résultat. ❖Apollonius de Perge : (IIIe et IIe siècles av. J.-C.). Géomètre et astronome grec, surnommé par ses contemporains le Grand Géomètre.…

La tablette 7289 est sans doute, avec la tablette Plimpton, le témoignage le plus convaincant de l’avancée des mathématiques babyloniennes. Cette petite tablette de huit centimètres de diamètre est assez laconique. Elle ne contient aucun énoncé, seulement quelques signes et une figure. Selon la plupart des spécialistes, cette tablette pourrait être la réponse à la question suivante : « Trouver la diagonale d’un carré de longueur 30 ». Pour déterminer cette valeur, le scribe a utilisé la valeur √2 : « Le scribe savait que la valeur √2 est une constante fondamentale de la géométrie à l’instar du nombre pi. La valeur qui figure sur cette tablette est précise au millionième », souligne le mathématicien Benoît Rittaud. Un certain nombre d’interrogations sur la nature de cette tablette demeure : s’agissait-il…

Lecteurs, du haut de ces pyramides, cinquante siècles vous contemplent ! cinquante siècles d’histoire... et cinquante siècles de mathématiques. Sur le vaste et décharné plateau de Gizeh, l’incongrue succession de tétraèdres, qui avait en leur temps interloqué les soldats du corps expéditionnaire français, semble bien esquisser les fondements de la géométrie euclidienne. L’héritage des mathématiques pharaoniques demeure à ce jour aussi trouble que ces horizons surchauffés par un soleil implacable. Textes emportés par les crues du Nil, enfouis sous le sable brûlant du désert ou abandonnés dans les ténèbres d’un sépulcre encore inconnu... Pas plus d’une dizaine de papyrus sur le sujet ont été exhumés. La documentation est d’autant plus lacunaire que les scribes savaient garder jalousement leurs secrets. Comme les autres sciences, toutes au service de l’État, elles se…

Les Égyptiens avaient mis au point un système fractionnaire spécifique aux quantités de grains. En 1911, l’égyptologue Georg Möller met en évidence une correspondance entre les hiéroglyphes désignant ces fractions et les subdivisions de l’oudjat , la représentation symbolique de l’œil du dieu faucon Horus: l’iris désigne le , les blancs de l’œil et le sourcil etc. Pendant plus d’un demi-siècle, personne ne remet cette idée en question. Hélas, cette thèse bien séduisante est invalidée par l’étude de nouvelles sources permettant de tracer l’évolution de ces hiéroglyphes. Ils n’auraient rien à voir avec l’oudjat . Les savants aussi se mettent parfois le doigt dans l’œil...…

Pythagore n’a rien écrit. Mais il sut faire parler de lui: aujourd’hui encore, tout collégien connaît son nom, à défaut de partager son amour des nombres. Né dans l’île de Samos, vers 580 av. J.-C, il entreprend un long périple qui le mène à Sidon (actuel Liban) où il fréquente des prêtres phéniciens. Puis il se retire au temple du mont Carmel (actuel Israël) avant de gagner Naucratis, la nouvelle cité grecque en terre égyptienne. Sur les rives du Nil, il étudie l’astronomie et la géométrie durant vingt-deux ans. Jusqu’à ce que les Perses le capturent et l’emmènent à Babylone. Il y fréquente les mages et se perfectionne en arithmétique et en musique. Il est âgé de cinquante-six ans quand il revient à Samos, où ses premiers enseignements se font…

D’abord Babylone. Puis Athènes. Et enfin – et surtout ! – Alexandrie. Ces trois cités s’imposent comme autant d’étapes clés dans l’odyssée des savoirs. Trois cités qui ont su, mieux que les autres, créer l’environnement propice pour faire éclore de nouvelles méthodes de pensée. De la Babylone du Premier Empire, nous ne connaissons hélas quasiment rien. Le sable a recouvert d’une couche trop épaisse tout ce qui faisait sa splendeur. On sait cependant que sous le règne d’Hammurabi, au XVIIIe siècle av. J.-C., la cité devient capitale de l’empire, dans une région qui a vu naître les premières formes d’écriture. L’art s’émancipe. La pensée aussi. Au VIe siècle av. J.-C., sous le règne de Nabuchodonosor II, la mégapole de mille hectares est au sommet de sa gloire. L’État entretient des…

On savait le goûteux liquide ancré dans la tradition gastronomique italienne depuis bien avant notre ère. On ignorait, en revanche, que l’huile d’olive était déjà consommée en Sicile au début de l’âge du bronze, il y a quatre mille ans ! La découverte d’infimes traces du condiment dans une jarre retrouvée sur le site d’habitats de Castelluccio, près de Syracuse, vient de faire reculer de près de sept cents ans la date à laquelle on voit apparaître son usage en Italie. « Grâce aux progrès de la biologie, on est capable d’identifier ce qu’une poterie renfermait, alors qu’on devait, auparavant, se contenter d’imaginer ce qu’elle pouvait stocker: des céréales, du vin, de l’huile… », raconte Davide Tanasi, chercheur en histoire à l’université américaine de South Florida, qui a mené avec…

Plus de 140 squelettes d’enfants âgés de 5 à 13 ans, ainsi qu’une centaine de lamas, enterrés vers 1400-1450 sur une plage du nord-ouest du Pérou : c’est une bien funeste scène qu’une équipe de chercheurs vient de mettre au jour à Huanchaquito-Las Llamas, situé à 700 kilomètres de Lima. John Verano, anthropologue à l’université américaine de Tulane et membre de la mission, était bien loin d’imaginer que les lambeaux de linceuls décelés par de jeunes Péruviens qui jouaient sur le littoral préfigureraient une telle hécatombe : « Il s’agit, à ma connaissance, du plus important site sacrificiel d’enfants jamais découvert au monde », souligne le chercheur. La tête de chaque dépouille tournée vers l’océan, le visage enduit de pigment rouge symbolisant leur passage dans l’au-delà, la cage thoracique béante…

Impossible pour les Grecs, dans l’Antiquité, de disjoindre les mathématiques de la musique. L’origine de cette union? Un éclair d’illumination provoqué, dit-on, par le passage de Pythagore devant un atelier de forgerons. Le mathématicien-philosophe, féru de musique, séduit par une série de notes harmonieuses produites par quatre marteaux frappant une enclume, aurait eu l’intuition que ces accords pouvaient se mesurer et aurait découvert qu’une harpe produit des tonalités agréables quand les rapports des longueurs des cordes qui vibrent sont des nombres entiers. Qu’importe si l’histoire est vraie. « Pour les pythagoriciens, la musique est une science au même titre que l’astronomie ou la géométrie, commente Élisabeth Busser . Leur théorie de la “musique des sphères” repose sur l’idée que l’univers est un gigantesque instrument d’origine…

Dans les années 1930, François Thureau-Dangin et Otto Neugebauer publient la traduction de tablettes mathématiques mésopotamiennes découvertes un demi-siècle plus tôt et vieilles de plus de quatre mille ans. La réaction est double : on admire la dextérité calculatoire des scribes, mais on regrette leur incapacité à s’élever jusqu’au ciel étoilé des démonstrations pures. Les pieds dans la glaise, ils semblent ne se passionner que pour des problèmes de canaux à creuser, de citernes à remplir, de champs à partager. Ils font des algorithmes comme on trace un sillon : avec obstination, zèle, méthode, mais sans relever la tête. Bref, des élèves méritants mais un peu épais, pas tout à fait dignes de passer dans la classe supérieure, celle d’Euclide et d’Archimède. LA MÉSOPOTAMIE SERAIT-ELLE AUSSI LE BERCEAU DES MATHÉMATIQUES…

Pourquoi les Mésopotamiens ont-ils choisi le système sexagésimal pour exprimer leurs calculs ? Cette base 60 se révèle en fait plus pratique et plus naturelle que la base 10. Si l’on divise 10 par 3 on obtient un nombre irrationnel, 3,333… En revanche, si l’on divise 60 par 3 on obtient 20. En fait, 60 possède plus de diviseurs que 10. Ce système s’avère donc plus pratique pour le commerce ou l’arpentage. La base 10 était utilisée comme base secondaire avec un chevron comme symbole. Ce système de numération ne recourant qu’à deux symboles, le clou et le chevron, était d’une redoutable efficacité. On notait les clous et les chevrons par groupes de trois pour qu’ils soient visibles au premier coup d’œil. Seul inconvénient du système : son apparente ambiguïté.…

On ne plaisante pas avec les mathématiques en Grèce. C’est aussi par elles que Platon entend former l’élite de la cité. D’abord parce qu’elles sont fascinantes. Mais aussi, et surtout, parce qu’elles façonnent l’esprit de leur idéal de rigueur et de pureté intellectuelle. Car les Grecs ne voient pas les mathématiques comme ont pu les voir avant eux les Babyloniens et les Égyptiens. Il ne s’agit plus d’outils. De recettes de l’esprit pour calculer une récolte et en déduire l’impôt. Les mathématiques qui s’élaborent dans le giron d’Athènes, puis sous les lumières d’Alexandrie, sont bien plus que ça. Les Grecs sont les premiers à les concevoir comme un ensemble cohérent de propositions, liées entre elles par des règles logiques qui peuvent se déduire de quelques principes initialement admis, appelés axiomes…

On sait tout ce que l’algèbre doit au monde arabo-persan. À commencer par son nom qui dérive du mot arabe al-jabr, la « restauration », employé au IXe siècle par le grand mathématicien d’origine persane Muhammad ibn Mûsa al-Khwârizmî. Dans son ouvrage Kitâb al-mukhtasar fî al-jabr wa-l-muqâbala (Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison), le savant explique que tout problème pratique (héritages et donations, transactions commerciales, arpentage des terres…) est assimilable à une équation composée de « dirhams » (dans notre vocabulaire actuel, des nombres entiers et rationnels positifs), de « racines » ou « choses » (c’est-à-dire d’inconnues) et de « biens » (leurs carrés). Et que cette équation initiale peut être résolue à condition d’y restaurer un certain ordre, en comparant et rassemblant les dirhams d’un…

Au-delà d’Euclide LES FORMES DITES FRACTALES Combien mesure les côtes de Bretagne ? C’est une question simple à partir de laquelle le mathématicien Benoît Mandelbrot a fondé la théorie des formes dites fractales, car infiniment tordues, enchevêtrées, entrelacées. La réponse est que la plupart des côtes possèdent une longueur infinie, car chaque zoom sur une courbe fractale révèle de nouveaux motifs similaires à une échelle différente. Ce n’est plus la longueur qu’utilisait la géométrie euclidienne, mais un nouveau type de mesure, la dimension fractale, qui caractérise une côte, ou toute autre courbe fractale. Cette dimension non entière mesure le degré de brisure de la courbe. Ainsi, la dimension fractale des côtes de Bretagne est proche de 1.5 : c’est-àdire l’intermédiaire entre 1, la dimension d’une courbe, et 2, la dimension…